Điều kiện Lyapunov

Xét Xn là một dãy các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, không nhất thiết có cùng phân phối. Giả sử Xi có kỳ vọng hữu hạn μi và độ lệch chuẩn hữu hạn σi. Ta định nghĩa:

s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 . {\displaystyle s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}.}

Giả sử các mômen bậc 3

r i 3 = E ( | X i − μ i | 3 ) {\displaystyle r_{i}^{3}={\mbox{E}}\left({\left|X_{i}-\mu _{i}\right|}^{3}\right)}

là hữu hạn với mọi i và

lim n → ∞ r n s n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0.}

Các điều kiện trên được gọi la điều kiện Lyapunov.

Ta xét tổng mớiSn=X1+...+Xn. Kỳ vọng của Sn là mn = ∑i=1..nμi và độ lệch chuẩn là sn. Nếu ta chuẩn hóa Sn bằng cách đặt

Z n = S n − m n s n {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}}

thì phân phối xác suất của Zn hội tụ về phân phối chuẩn N(0,1).

Điều kiện Lindeberg

Với các giả thiết ban đầu như trong điều kiện Lyapunov.

Với mọi ε > 0

lim n → ∞ ∑ i = 1 n E ( ( X i − μ i ) 2 s n 2 : | X i − μ i | > ϵ s n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\mbox{E}}\left({\frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}:\left|X_{i}-\mu _{i}\right|>\epsilon s_{n}\right)=0}

trong đó E(U: V > c) là kỳ vọng có điều kiện: kỳ vọng của U với điều kiện V > c. Khi đó phân phối xác suất của Zn hội tụ về phân phối chuẩn N(0,1).

Trường hợp các biến ngẫu nhiên không độc lập

Có một số định lý nghiên cứu trường hợp tổng của các biến ngẫu nhiên không độc lập, ví dụ định lý giới han trung tâm m-phụ thuộc (m-dependent central limit theorem), định lý giới hạn trung tâm martingal (martingale central limit theorem) và định lý giới hạn trung tâm cho quá trình hỗn hợp (central limit theorem for mixing processes).